Università degli Studi di L'Aquila - Corso di Laurea in Matematica

anno accademico 2012-2013

Obiettivo del corso:

Fornire gli strumenti matematici adatti alla soluzione numerica dei problemi di ottimizzazione e di modellistica differenziale. Il corso è di 6CFU ed ha una durata di 60 ore.

Risultati di apprendimento previsti:

Essere in grado di risolvere numericamente e di sviluppare codici per problemi generali di ottimizzazione e per la soluzione di problemi nella modellistica differenziale.

Programma sintetico:

Metodi iterativi per la soluzione di equazioni e sistemi non-lineari. Metodi di ottimizzazione per funzionali quadratici. Metodi di discesa per problemi generali di minimizzazione vincolata e non vincolata. Metodi numerici per problemi di Cauchy. Teoria della stabilità per metodi a un passo. Problemi stiff. Metodi numerici per problemi al contorno.

Docente: Nicola Guglielmi.

Programma dettagliato:

1. Metodi iterativi per la soluzione di equazioni e sistemi non-lineari. Metodo di bisezione per equazioni nonlineari. Teoria generale dei metodi iterativi. Convergenza e ordine. Metodo di Newton. Estensione al caso di sistemi non lineari. Teorema di Newton Kantorovich. Metodi quasi-Newton.
2. Metodi di ottimizzazione. Problemi di minimizzazione per funzionali generali; condizioni di minimo relativo; condizioni necessarie al 1° e al 2° ordine; condizioni sufficienti al 2° ordine; convessità. Funzionali quadratici con matrice simmetrica definita positiva; metodo del gradiente steepest descent (SD); stime di convergenza per il caso quadratico; disuguaglianza di Kantorovich; velocità di convergenza del metodo del gradiente.
3. Metodi alle direzioni coniugate. Q-coniugazione e implicazioni; teorema di espansione; metodo del gradiente coniugato (CG); teorema di caratterizzazione del metodo del gradiente coniugato; proprietà del metodo; metodo CG come processo ottimale; confronto tra i metodi CG ed SD; stime di convergenza per il metodo CG; stime generali e legami con lo spettro della matrice Q; metodo CG parziale; applicazione al caso di matrici con struttura; metodo del gradiente coniugato precondizionato. Estensione del metodo CG al caso di funzionali non quadratici.
4. Metodi di penalizzazione. Proprietà e convergenza; applicazione del metodo CG parziale a problemi di penalizzazione; scaling ottimale della funzione di penalizzazione.
5. Metodi numerici per l'approssimazione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero (esplicito); convergenza; lemma di convergenza uniforme per le soluzioni generate; convergenza delle funzioni lineari a tratti approssimanti; stime di errore a priori sotto ipotesi di regolarità (classe C²) della soluzione; stime a posteriori dell'errore; metodi a un passo; esempi: metodi basati su sviluppo in serie di Taylor, metodi Runge-Kutta (RK).
6. Convergenza e condizioni dell'ordine. Errore di discretizzazione; incremento relativo esatto, incremento relativo numerico; ordine di un metodo a un passo; convergenza; teorema di consistenza; stime a priori; stime a posteriori; metodi Runge-Kutta in generale; formalismo di Butcher; condizioni dell'ordine; metodi impliciti; esistenza della soluzione numerica per metodi Runge-Kutta impliciti.
7. Stabilità. Problemi dissipativi e stabilità; problemi stiff; A-stabilità; definizioni più generali di stabilità; il problema della generazione di output denso; metodi continui; metodi di collocazione Gaussiana; aspetti implementativi: controllo del passo.
8. Metodi numerici per problemi ai valori al contorno per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di shooting; metodi alle differenze finite; metodi variazionali (cenni); applicazione ad un'equazione modello.

Attività di laboratorio. Verrà utilizzato il linguaggio Matlab, orientato alla manipolazione di matrici. Le esercitazioni previste riguardano gli argomenti seguenti:

1. implementazione di semplici metodi iterativi;
2. implementazione del metodo di Newton per sistemi di equazioni non-lineari;
3. implementazione del metodo del gradiente;
4. implementazione del metodo del gradiente coniugato e applicazione all'equazione di Poisson;
5. implementazione di un metodo di penalizzazione;
6. implementazione del classico metodo Runge Kutta esplicito di ordine 4;
7. implementazione del metodo RK45 di Dormand e Prince per problemi non stiff;
8. implementazione del metodo di Eulero implicito per una equazione di cinetica chimica;;
9. implementazione del metodo alle differenze per il problema dei due punti;
10. implementazione del metodo variazionale per il problema dei due punti;

Testi di riferimento:

• J. Stoer e R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis. Ed. Springer Verlag. [argomenti 1 e 8]
• D.G. Luenberger, Linear and nonlinear programming. Ed. Addison Wesley. [argomenti 2, 3 e 4]
• E. Hairer, S.P. Norsett e G. Wanner, Solving ordinary differential equations. I. Nonstiff problems. Second edition.. Springer Verlag. [argomenti 5]
• P. Henrici, Discrete variable methods in ordinary differential equations. Ed. John Wiley. [argomenti 5]
• J.D. Lambert, Computational methods in ordinary differential equations. Ed. John Wiley. [argomenti 6 e 7]

Orario settimanale delle lezioni: Martedì: 11.15 -- 13.15. Mercoledì 14.15 -- 17.15.

Modalità d'esame:

L'esame consiste in una prova orale e nello sviluppo facoltativo di una tesina, collegata con l'attività prevista di laboratorio.

Orario di ricevimento Nicola Guglielmi: Mercoledì: ore 11.30 - 13.30. Chiara SImeoni:

Pagine WEB consigliate:

http://univaq.it/~guglielm